Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A(-3;2;5) lên mặt phẳng (P): 2x+3y-5z-13=0

Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 5)\).

Gọi d là đường thẳng qua A(-3;2;5) và vuông góc với mặt phẳng (P), khi đó:

(d) có: \(\left\{ \begin{array}{l} VTCP\,\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 5)\\ qua\,A( - 3;2;5) \end{array} \right.\) nên phương trình tham số của (d) là:

 \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3 + 2t}\\ {y = 2 + 3t}\\ {z = 5 - 5t} \end{array}} \right.\)

Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3 + 2t}\\ {y = 2 + 3t}\\ {z = 5 - 5t} \end{array}\\ 2x + 3y - 5z - 13 = 0 \end{array} \right.\)

  \(\Leftrightarrow 2.\left( { - 3 + 2t} \right) + 3\left( {2 + 3t} \right) - 5\left( {5 - 5t} \right) - 13 = 0\)

Suy ra:  \(H\left( { - 1;5;0} \right)\)