Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d với M(1;2;-3) và d:(x-3)/2=(y+1)/1=(z-1)/2

d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\)  

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

Do (P) vuông góc với d nên có VTPT là: \(\overrightarrow n = \overrightarrow u = (2;1;2)\).

Vậy phương trình của (P) là:

\(\left( P \right):2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z + 3} \right)\)\(= 2x + y + 2z + 2 = 0\)

Gọi H là giao điểm của d và (P) (hay H là hình chiếu của M lên đường thẳng d suy ra \(H\left( {2h + 3;h - 1;2h + 1} \right)\) và H thuộc (P) nên ta có:

\(\begin{array}{l} 2\left( {2h + 3} \right) + h - 1 + 2\left( {2h + 1} \right) + 2 = 0\\ \Rightarrow h = - 1\\ \Rightarrow H\left( {1; - 2; - 1} \right) \end{array}\)