Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx - m - 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ dương

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx - m - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6(m + 1)x + 6m;\forall x \in \mathbb{R}.\)

Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - m) = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m\end{array} \right.\)

Do hệ số của \({x^3}\) nên ta sẽ có hai trường hợp sau:

TH1. Nếu \({x_1} = 1 > {x_2} = m \Leftrightarrow m < 1.\) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\(2m - 2)(3{m^2} - {m^3} - m - 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\{m^3} - 3{m^2} + m + 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .\)

TH2. Nếu \({x_1} = 1 < {x_2} = m \Leftrightarrow m > 1.\) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\(2m - 2)(3{m^2} - {m^3} - m - 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^3} - 3{m^2} + m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m > 1 + \sqrt 2  \Rightarrow m \in (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\end{array}\)