Tìm tâm K của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC biết A(4;0;0) B(0;2;0) C(0;0;6)

Ta có phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y + 2z = 12.\) 

Giả sử K(x,y,z), do K là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC nên:

\(\left\{ \begin{array}{l} K \in \left( {ABC} \right)\\ KA = KB\\ KA = KC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} K \in \left( {ABC} \right)\\ K{A^2} = K{B^2}\\ K{A^2} = K{C^2} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 6y + 2z = 12\\ 2x - y = 3\\ 2x - 3z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{80}}{{49}}\\ y = \frac{{13}}{{49}}\\ z = \frac{{135}}{{49}} \end{array} \right.\)