Tìm m để hàm số y=mx^4-(m-1)x^2-2 có ba điểm cực trị

Xét hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c \left ( a\ne0 \right )\)

\(y' = 4a{x^3} + 2bx\)

\(y'= 0 \Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{{2a}}(*) \end{array} \right.\)

Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Để phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này xảy ra khi \(\frac{b}{{2a}} < 0\).

Áp dụng vào bài toán, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{m} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)