Tìm m để hàm số y=x^4-2mx^2+2m+m^4 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} - m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình  (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

Điều này xảy ra khi m>0.

Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0).

Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0

Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { - \sqrt m } \right)\)

\(= {m^2} - 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} - {m^2} + 2m\)

Suy ra phương trình BC là:  \(y - ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\)

Khi đó:

\(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} - \left( {{m^4} + 2m - {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\)

Như vậy rõ ràng

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\)

\(= \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)