Tính tổng a+b khi hàm số y=-1/3x^3+1/2ax^2+bx+1/3 đạt cực đại tại x=1 và giá trị cực đại bằng 2

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} {y^/} = - {x^2} + ax + b\\ {y^{//}} = - 2x + a \end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {y^/}(1) = 0\\ {y^{//}}(1) < 0\\ y(1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + a + b = 0\\ - 2 + a < 0\\ \frac{1}{2}a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ a < 2 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3 \end{array} \right.\)

Kiểm tra lại ta thấy giá trị a và b tìm được hoàn toàn thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy a+b=1.