Tìm m để đồ thị hàm số y = {x^4} + 2(m - 4){x^2} + m + 5 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O(0;0) là trọng tâm

 \(\begin{array}{l} y = {x^4} + 2(m - 4){x^2} + m + 5\\ y' = 4{x^3} + 4(m - 4)x = 4x({x^2} + m - 4)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 4 - m(*) \end{array} \right. \end{array}\)

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Điều này xảy ra khi: \(4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4.\)  

Khi đó: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \({x_1} = \sqrt {4 - m} ,{x_2} = - \sqrt {4 - m}\)

Giả sử các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là: \(A\left( {\sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right),{\rm{ }}\)\(B\left( {0;m + 5} \right)\), \(C\left( { - \sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right)\)

Theo bài ra ta có trọng tâm của tam giác ABC là O(0;0) nên ta có:

  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 = \frac{{m + 5 + 2\left( { - {m^2} + 9m - 11} \right)}}{3}}\\ {0 = \frac{{0 + \sqrt {4 - m} - \sqrt {4 - m} }}{3}} \end{array}} \right. \Rightarrow m = 1\)