Tìm m để đồ thị hàm số y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4} có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

Ta có:

\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right. \end{array}\)   

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m>0.

Gọi tọa độ ba điểm cực trị là:

\(A(0;2m + {m^4});\,B( - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m);\,C(\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m)\)

Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương thì tam giác ABC cân tại A.

Vậy ABC là tam giác đều khi:

\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{({m^2})}^2}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(Do\,m > 0) \end{array}\)