Tìm m để đồ thị hàm số y = 2/3x^3 - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1 có hai điểm cực trị có hoành độ x1, x2 sao cho 2(x1+x2)-x1x2=4

Xét hàm số  \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1\), có \(y' = 2{x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2});\forall x \in \mathbb{R}\)  

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2}) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 - 3{m^2} = 0(*)\) 

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)  

Hay \({\Delta _{(*)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4(1 - 3{m^2}) > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0\)  (I)

Khi đó, theo hệ thức Viet ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m}\\ {{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}} \end{array}} \right.\)

mà \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4 \Rightarrow 2m - (1 - 3{m^2}) = 4\)

\(\Leftrightarrow 3{m^2} + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1}\\ {m = - \frac{5}{3}} \end{array}} \right.\)

Đối chiếu điều kiện (I), ta được \(m = 1;m = - \frac{5}{3}.\)