Tìm m để đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + m có hai cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành

Ta có:

\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu tại hai điểm \({M_1}\left( {0;m} \right),\,{M_2}\left( {2;m - 4} \right)\).

Để đồ thị hàm số hai điểm cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành thì giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số phải trái dấu nhau hay: \(m.(m - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\).