Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(x^2+y^2) + 15xy biết các số thực x, y thỏa mãn x+y=2(sqrt(x-3)+sqrt(y+3))

Ta có \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 4\left( {x + y} \right) + 8\sqrt {x - 3} .\sqrt {y + 3} \ge 4\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y \ge 4}\\ {x + y \le 0} \end{array}} \right.\)

Mặt khác \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right) \le 2\sqrt {2\left( {x + y} \right)} \Leftrightarrow x + y \le 8 \Rightarrow x + y \in \left[ {4;8} \right]\)

Xét biểu thức  \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 7xy\)

Đặt \(t = x + y \in \left[ {4;8} \right] \Rightarrow P = 4{t^2} + 7xy\).

Lại có:

\(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - 3\left( {x + y} \right) - 9\\ \Rightarrow P \ge 4{\left( {x + y} \right)^2} - 21\left( {x + y} \right) - 63 = 4{t^2} - 21t - 63 \end{array}$\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 21t - 63\) trên đoạn [4;8] suy ra \({P_{\min }} = f\left( 7 \right) = - 83\)