Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(sinx-1)/(sinx+m) đồng biến trên (-pi/2;pi/2)

Xét hàm số \(y = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + m}}\)

Ta có \(y' = \frac{{m\cos x + \cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {m + 1} \right).\cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}};\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)  

Với m=-1 ta có y=1 là hàm hằng, vậy m=-1 không thỏa yêu cầu bài toán.

Với \(m \ne - 1:\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) khi \(y' \ge 0;\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

  Và y’=0 có hữu hạn nghiệm trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

Điều này xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m + 1} \right).\cos x \ge 0}\\ {m \ne - \sin x} \end{array}} \right.,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow m \ge 1.\)