Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BD=6m, CD=12m.

Gọi O là trung điểm của MN và trùng với gốc tọa độ \( \Rightarrow M\left( { - 2;0} \right),\,\,N\left( {2;0} \right).\)

Phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a \ne 0)\)

Tọa độ đỉnh Parabol: \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\ - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 6\\36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a =  - \frac{1}{6}\\c = 6\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình parabol đỉnh \(I\left( {0;6} \right)\) và đi qua hai điểm \(C\left( { - 6;0} \right),\,\,D\left( {6;0} \right)\) là \(\left( P \right):y = 6 - \frac{1}{6}{x^2}.\)

Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right) = 6 - \frac{1}{6}{x^2}\) và \(x =  - 2,\,\,x = 2.\)

Khi đó: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {6 - \frac{{{x^2}}}{6}} \right)dx}  = \left. {\left( {6x - \frac{{{x^3}}}{{18}}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{208}}{9}\,\,\left( {{m^2}} \right).\)

Vậy số tiền công ty X cần có để làm bức tranh là: \(T = \frac{{208}}{9} \times 900.000 = 20.800.000\) đồng.