Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = {x^3} - 3{x}^2} + 2x trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3 là:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}\) với trục hoành là:

\({x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right|} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}}  - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}}  + \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right)d{\rm{x}}} \\ \Rightarrow S = \frac{{11}}{4}.\end{array}\)