Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=|x^2-4x+3| và x=-1

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

\(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = x + 3\\{x^2} - 4x + 3 =  - \left( {x + 3} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| \le x + 3,\forall x \in \left[ {0;5} \right]\).

Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính là:

\(S = \int\limits_0^5 {\left( {x + 3 - \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} \right){\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_0^1 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {\left( {x + 3 + {x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( {x + 3 - {x^2} + 4x - 3} \right){\rm{d}}x} } \)

\( = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x + 6} \right){\rm{d}}x + \int\limits_3^5 {\left( { - {x^2} + 5x} \right){\rm{d}}x} } \)

\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{5{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^5 = \frac{{109}}{6}.\)