YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\).

    • A. 2
    • B. 3
    • C. 1
    • D. Vô số

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Với a, b là các số nguyên dương, ta có:

    \({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\)

    \( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + {b^2} - ab}} + {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) + 3ab\left( {a + b} \right) + 1\)

    \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {a^3} + {b^3} = {\log _3}\left[ {3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)} \right] + 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

    Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

    \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\forall t > 0\) nên hàm số f(t) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

    Khi đó, phương trình (1) trở thành : \(f\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = f\left[ {3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)} \right] \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\)

    \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\left( {a + b - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - ab = 0\,\,\left( * \right)\\ a + b - 3 = 0 \end{array} \right.\)

    Do \(a, b \in N^*\) nên phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra: a + b = 3.

    Mà a, b là các số nguyên dương nên \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 3\\ 0 < b < 3\\ a + b = 3\\ a,b \in {N^*} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

    Vậy có hai cặp số (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 202985

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON