Có tất cả bao nhiêu cặp số (a;b) với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn: .

Với a, b là các số nguyên dương, ta có:

\({\log _3}\left( {a + b} \right) + {\left( {a + b} \right)^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3ab\left( {a + b - 1} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + {b^2} - ab}} + {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right) + 3ab\left( {a + b} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {a^3} + {b^3} = {\log _3}\left[ {3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)} \right] + 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\forall t > 0\) nên hàm số f(t) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó, phương trình (1) trở thành : \(f\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = f\left[ {3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)} \right] \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\left( {a + b - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - ab = 0\,\,\left( * \right)\\ a + b - 3 = 0 \end{array} \right.\)

Do \(a, b \in N^*\) nên phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra: a + b = 3.

Mà a, b là các số nguyên dương nên \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 3\\ 0 < b < 3\\ a + b = 3\\ a,b \in {N^*} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Vậy có hai cặp số (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán.