Cho hàm số (m khác 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng có dạng , với a, b, c, d là các số thực. Tính P = a - b + c - d.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} x \le \frac{3}{2}\\ - \sqrt { - 2x + 3} + \frac{2}{m} \ne 0 \end{array} \right.\).

Đặt \(u = \sqrt { - 2x + 3} \Rightarrow u' = \frac{{ - 1}}{{\sqrt { - 2x + 3} }} < 0,\,\forall x \in \left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\), suy ra hàm số \(u = \sqrt { - 2x + 3} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\). Với \(x \in \left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right) \Rightarrow u \in \left( {1;\,\,2} \right)\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để hàm số \(g\left( u \right) = \frac{{\left( {m + 1} \right)u - 1}}{{ - u + \frac{2}{m}}}\) đồng biến trên khoảng (1;2)

Ta có \(g'\left( u \right) = \frac{{\frac{2}{m}\left( {m + 1} \right) - 1}}{{{{\left( { - u + \frac{2}{m}} \right)}^2}}},\,\,u \ne \frac{2}{m}\).

Hàm số g(u) đồng biến trên khoảng (1;2) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} g'\left( u \right) > 0,\,\,\forall u \in \left( {1;\,\,2} \right)\\ \frac{2}{m} \notin \left( {1;\,\,2} \right) \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{m}\left( {m + 1} \right) - 1 > 0\\ \left[ \begin{array}{l} \frac{2}{m} \le 1\\ \frac{2}{m} \ge 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{m + 2}}{m} > 0\\ \left[ \begin{array}{l} \frac{{m - 2}}{m} \ge 0\\ \frac{{m - 1}}{m} \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 0\\ m < - 2 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} m \ge 2\\ m < 0\\ 0 < m \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m > 0\\ m < - 2 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} m \ge 2\\ m \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ 0 < m \le 1\\ m \ge 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {0;\,\,1} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right) \Rightarrow a = - 2;\,\,b = 0;\,\,c = 1;\,\,\,d = 2\).

Do đó P =  - 2 - 0 + 1 - 2 =  - 3.