Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f(x), biết hàm số có ba điểm cực trị x = - 3; x = 3; x = 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số có đúng 7 điểm cực trị

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}.f'\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right)\)

\(\begin{array}{l} g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}.f'\left( {{e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\;\;\;\;\\ x = - 2\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = - 3\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = 3\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} - m = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m - 3,\;\left( 1 \right)\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 3,\;\left( 2 \right)\\ {e^{{x^3} + 3{x^2}}} = m + 5,\;\left( 3 \right) \end{array} \right.\;\; \end{array}\)

Hàm số g(x) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác 0 và -2 của các phương trình (1), (2), (3) là 5.

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {e^{{x^3} + 3{x^2}}}\) có \(h'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right){e^{{x^3} + 3{x^2}}}\). Ta có \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên:

Khi đó có 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 3 \ge {e^4}\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ {1 < m - 3 < {e^4}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge {e^4} - 3 \approx 51,6\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ {4 < m < {e^4} + 3 \approx 57,6} \end{array}} \right.\)

Do m nguyên nên \(m \in \left\{ {52;\,53;\,54;\,55;\,56;\,57} \right\}\).

Trường hợp 2:

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l} m + 5 \ge {e^4}\\ 1 < m + 3 < {e^4}\\ 0 < m - 3 \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > {e^4} - 5 \approx 49,6\\ - 2 < m < {e^4} - 3\\ 3 < m \le 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).

Trường hợp 3:

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 < m + 5 < {e^4}}\\ {m + 3 \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\ {m - 3 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 < m < {e^4} - 5 \approx 49,6\\ m \le - 2\\ m > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.