Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và . Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số đồng biến trên .

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 4m} \right).{e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right) + {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f'\left( x \right)\).

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) = \left[ {\left( { - 2x + 4m} \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right].{e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\frac{1}{2}} \right)\) và g'(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left( { - 2x + 4m} \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\) (vì \({e^{ - {x^2} + 4mx - 5}} > 0\))

\(\Leftrightarrow - 2x + 4m \ge - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\), (vì \(f\left( x \right) > 0,\,\forall x \in R\))

\( \Leftrightarrow 4m \ge 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\) (*)

Xét \(h\left( x \right) = 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\). Ta có \(h'\left( x \right) = 2 - \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}}\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l} f''\left( x \right) < 0\\ f\left( x \right) > 0 \end{array} \right.,\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} < 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\frac{1}{2}} \right)\).

Từ đó suy ra \(h'\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\frac{1}{2}} \right)\). Vậy hàm số h(x) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

Bảng biến thiên

Vậy điều kiện (*) \( \Leftrightarrow 4m \ge h\left( {\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow 4m \ge 2.\left( {\frac{1}{2}} \right) - \frac{{f'\left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{f\left( {\frac{1}{2}} \right)}} \Leftrightarrow 4m \ge \frac{{225}}{{137}} \Leftrightarrow m \ge \frac{{225}}{{548}}\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l} m \in Z\\ m \in \left[ { - 2020;\,2020} \right] \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,...;\,2020} \right\}\).

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.