Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;20] sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2] không bé hơn 1?

Dựa vào hình vẽ ta có: \( - 2 \le f(x) \le 2,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\,\) (*)

\( \Rightarrow 2f\left( x \right) + 4 \ge 0,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\)

Vì \(m \in \left[ {0;20} \right]\) nên \(2f\left( x \right) + m + 4 \ge 0\)

Suy ra \(\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| = 2f\left( x \right) + m + 4,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\)

Ta có: \(g\left( x \right) = \left| {\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| - f(x) - 3} \right| = \left| {2f\left( x \right) + m + 4 - f\left( x \right) - 3} \right| = \left| {f\left( x \right) + m + 1} \right|\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).

+) Với \(m = 0 \Rightarrow g\left( x \right) = \left| {f\left( x \right) + 1} \right|,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).

\(\begin{array}{l} (*) \Leftrightarrow \Rightarrow 0 \le \left| {f\left( x \right) + 1} \right| \le 3,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right] - 1 \le f\left( x \right) + 1 \le 3,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\\ \Leftrightarrow 0 \le g\left( x \right) \le 3,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right] \end{array}\)

\(\mathop { \Rightarrow min}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} \,g\left( x \right) = 0 \Rightarrow m = 0\) không thỏa yêu cầu bài toán.

+) Với \(m \in \left[ {1;20} \right] \Rightarrow f\left( x \right) + m + 1 \ge 0 \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) + m + 1\).

Từ (*) ta có: \(f\left( x \right) + m + 1 \ge m - 1 \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} \,g\left( x \right) = m - 1\).

Yêu cầu bài toán: \(\mathop {min}\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} \,g\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow m - 1 \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 2 \Rightarrow m \in \left[ {2;20} \right]\).

Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.