Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4.

Câu hỏi:
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 4. Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện bằng 30^o. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
- A. \(\sqrt 5 \pi \)
- B. \(\frac{{10\sqrt 2 \pi }}{3}\)
- C. \(\frac{{8\sqrt 3 \pi }}{3}\)
- D. \(\frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB.

Gọi SA = l là đường sinh, OA = R là bán kính và SO = h là đường cao của hình nón đã cho.

Gọi I là trung điểm của AB và K là hình chiếu của O lên SI.

Góc giữa đường cao của hình nón và mặt phẳng thiết diện là \(\left( {\widehat {\,SO\,;\,\left( {SAB} \right)\,}} \right) = \widehat {\,OSK\,} = 30^\circ \).

Tam giác SAB vuông cân tại S nên \({S_{SAB}} = \frac{1}{2}.S{A^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}{l^2} = 4 \Rightarrow l = 2\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow AB = l.\sqrt 2 = 4 \Rightarrow \) Đường trung tuyến \(SI = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.4 = 2\).

Tam giác SOI vuông tại O: \(\cos \widehat {OSI} = \frac{{SO}}{{SI}} \Rightarrow SO = SI.\cos 30^\circ = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow h = \sqrt 3 \).

Ta có: \(R = \sqrt {{l^2} - {h^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Vậy thể tích của khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .5.\sqrt 3 = \frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE