Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a

* Ta có: \({V_{A.BCNM}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMN}}\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}}\,\,\left( 2 \right)\),

với \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SM.SB}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{4}{5}\).

Tương tự, \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{4}{5}\). Thay vào \(\left( 2 \right)\), ta được: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{16}}{{25}}\).

Do đó, từ \(\left( 1 \right)\) suy ra

\({V_{A.BCNM}} = \frac{9}{{25}}{V_{S.ABC}} = \frac{9}{{25}}.\frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{3}{{25}}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.2a = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{50}}\).