Cho hình chóp S.ABC có tất cả các mặt bên tạo với đáy góc alpha

* Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

* Gọi \(D,E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) lên \(AB,BC,CA\). Khi đó:

\(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SDH} = \alpha \),

\(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SEH} = \alpha \),

\(\left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SFH} = \alpha \).

Vì \(\Delta SDH = \Delta SEH = \Delta SFH\) nên \(DH = EH = FH\), suy ra \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\). Do đó \(HD = r = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{p_{ABC}}}} = \frac{{6{a^2}}}{{6a}} = a\)

\(\tan \widehat {SDH} = \frac{{SH}}{{DH}} \Rightarrow SH = DH.tan\alpha  = atan\alpha \).

\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.6{a^2}.a\tan \alpha  = 2{a^3}\tan \alpha \).