Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=1/3x^3-(m-1)x^2-(m-3)x+2017m đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (0;3) là đoạn T=[a;b]

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 3} \right)\) suy ra phương trình y’=0 có nhiều nhất hai nghiệm trên \(\mathbb{R}.\)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;3) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right).\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (0;3) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;3} \right)\\x =  - 2 \notin \left( {0;3} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến biến trên khoảng (-3;1) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right).\)Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow m \le 2.\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (-3;-1) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \notin \left( { - 3; - 1} \right)\\x =  - 2 \in \left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge  - 1.\)

Do đó: \(m \in \left[ { - 1;2} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5.\)