Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=mx−(m+1).cosx đồng biến trên R

\(y = mx - \left( {m + 1} \right)\cos x \Rightarrow y' = m + \left( {m + 1} \right)\sin x\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)thì \(y' \ge 0\) với mọi m khi \(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0\)với điều kiện y’=0 tại một số hữu hạn điểm.

\(m + \left( {m + 1} \right)\sin x \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sin x \ge  - m\)

+ Với \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1,\) ta có: \(Sinx \ge  - \frac{m}{{m + 1}}\)

Xét hàm số:

\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m >  - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy không tồn tại giá trị m>-1 thỏa yêu cầu bài toán (1)

+ Với \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - 1,\) ta có: \(Sinx \le  - \frac{m}{{m + 1}}\)

Xét hàm số:

\(\begin{array}{l}f(m) = \frac{{ - m}}{{m + 1}},m <  - 1\\f'(m) = \frac{{ - 2}}{{{{(m + 1)}^2}}} < 0\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy không tồn tại m<- thỏa yêu cầu bài toán.

+ Với m=-1, hàm số trở thành: y=x, không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Vậy không có m thỏa yêu cầu bài toán.