Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(F(2)=3\). Tính F(1).

Ta có: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx}\)

Đặt: \(u = {x^2} + x + 1 \Rightarrow du = \left( {2x + 1} \right)dx\)

Vậy: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{u}du} \)

\(= \ln \left| u \right| + C = \ln \left| {{x^2} + x + 1} \right| + C\)

\(= \ln ({x^2} + x + 1) + C\)

Ta có: \(F(2) = 3 \Rightarrow \ln 7 + C = 3 \)

\(\Rightarrow C = 3 - \ln 7\)

Do đó: 

\(F\left( 1 \right) = \ln 3 + 3 - \ln 7 = 3 - \ln \frac{7}{3}.\)