Tính tỷ số V(S.APMQ)/V(SABCD) biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, M là trung điểm của SC mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q

Gọi O là giao điểm của AC và BD
I là giao điểm của MM và SO
I là trọng tâm tam giác SAC
$\Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}$
Dễ thấy PQ // BD
$\Rightarrow \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{{SQ}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}$
$\frac{{{V_{S.APQ}}}}{{{V_{S.AB{\rm{D}}}}}} = \frac{{SP}}{{SB}}.\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{S.APQ}} = \frac{4}{9}.{V_{S.AB{\rm{D}}}} = \frac{2}{9}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}$
$\frac{{{V_{S.PMQ}}}}{{{V_{S.BC{\rm{D}}}}}} = \frac{{SP}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{2}{9} \Rightarrow {V_{S.PMQ}} = \frac{2}{9}.{V_{S.BC{\rm{D}}}} = \frac{1}{9}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}$
${V_{S.APMQ}} = {V_{S.APQ}} + {V_{S.PMQ}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC{\rm{D}}}}$