Cho hình chóp đều S.ABCD có đánh bằng 2a. Mặt bên hình chóp tạo với đáy một góc 60 độ. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN

Do S.ABCD là hình chóp đề nên suy ra:

G là trọng tâm tam giác SAC thì G cũng là trọng tam tam giác SBD.

Do đó M là trung điểm của SC.

N là trung điểm SD.

Ta có: ${V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}}$. 

Mà: $\frac{{{V_{S.ABM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2}$ ;$\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{4}$.

Mặt khác: ${V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ABCD}}$.

Suy ra:

$\begin{array}{l} {V_{S.ABMN}} = {V_{S.ABM}} + {V_{S.AMN}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABC}} + \frac{1}{4}{V_{S.ACD}}\\ = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}} \end{array}$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} SI \bot BC\,(do\,SBC\,la\,tam\,giac\,can)\\ HI \bot BC\,(do\,HI//DC) \end{array} \right.$

 Suy ra: $\widehat {SIH}$  là góc giữa mặt bên và đáy

$SH = HI.{\mathop{\rm tanSIH}\nolimits} = a\sqrt 3 ;\,{S_{ABCD}} = 4{a^2}$

$\to {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

$\Rightarrow {V_{S.ABMN}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$