Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R

Hàm số \(y = x + m(\sin x + \cos x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

\(y' = 1 + m(\cos x - \sin x) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \min \left( {1 + m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)  (1)                                     

Trước tiên ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(g(x) = \sin x - \cos x\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow 2\sin x.\cos x = {t^2} - 1\)

Ta có \({\left( {g(x)} \right)^2} = {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2} = 2 - {t^2} \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le g(x) \le \sqrt 2 .\)

Do đó \(\left| {m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right| = \left| m \right|.\left| {\cos x - \sin x} \right| \le \left| m \right|\sqrt 2\) 

\(\Rightarrow - \sqrt 2 \left| m \right| \le m\left( {\cos x - \sin x} \right) \le \sqrt 2 \left| m \right|.\)

Do đó (1) \(\Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \left| m \right| \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)