Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R

Hàm số $y = x + m(\sin x + \cos x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:

$y' = 1 + m(\cos x - \sin x) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \min \left( {1 + m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$  (1)                                     

Trước tiên ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $g(x) = \sin x - \cos x$

Đặt $t = \sin x + \cos x \Rightarrow 2\sin x.\cos x = {t^2} - 1$

Ta có ${\left( {g(x)} \right)^2} = {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2} = 2 - {t^2} \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le g(x) \le \sqrt 2 .$

Do đó $\left| {m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right| = \left| m \right|.\left| {\cos x - \sin x} \right| \le \left| m \right|\sqrt 2$ 

$\Rightarrow - \sqrt 2 \left| m \right| \le m\left( {\cos x - \sin x} \right) \le \sqrt 2 \left| m \right|.$

Do đó (1) $\Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \left| m \right| \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$