Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=(x^2-4x)/(x+m) đồng biến trên [1;+ vô cực]

Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x + m}},$ ta có:

 $y' = \frac{{(2x - 4)(x + m) - {x^2} + 4x}}{{{{(x + m)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx - 4m}}{{{{(x + m)}^2}}},\forall x \ne - m$

Hàm số đồng biến trên ${\rm{[}}1; + \infty )$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)(*)\\ x = - m \notin \forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m > - 1 \end{array} \right.$

Ta có (*) $\Rightarrow {x^2} + 2mx - 4m \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 2m(2 - x)(I)$

+ TH1. Với x = 2 $\Rightarrow {x^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)$ với mọi giá trị của m

+ TH2. Với $2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \Rightarrow x \in {\rm{[}}1;2)$.

Khi đó (I)$\Leftrightarrow 2m \le \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in {\rm{[}}1;2) \Rightarrow 2m \le \mathop {m{\rm{in}}}\limits_{{\rm{[}}1;2)} {\rm{f}}(x)$  

+ TH3. Với $2 - x < 0 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow x \in \left( {2; + \infty } \right)$

 Khi đó (I)$\Leftrightarrow 2m \ge \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in (2; + \infty ) \Rightarrow 2m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} {\rm{f}}(x)$ 

Xét hàm số $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{2 - x}},$ ta có $f'(x) = - \frac{{x(x - 4)}}{{{{(2 - x)}^2}}};\forall x \ne 2$  

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 4 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}1;2)} f(x) = f(1) = 1\\ \mathop {\max }\limits_{(2; + \infty )} f(x) = f(4) = - 8 \end{array} \right.$

Kết hợp các trường hợp, ta được $- 1 < m \le \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.