Tìm m để đồ thị hàm số y=x^4-2mx^2+m-1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh một tam giác đều

Xét hàm số  \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\)

\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)

Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ  khi phương trình \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.

Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

Điều này xảy ra khi m>0.

Khi m>0, ta có 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số:

\(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,C( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\)

Ta có tam giác ABC cân tại A.

Vậy ABC đều khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {m^4}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow m({m^3} - 3) = 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(m > 0) \end{array}\)