Hàm số y=x^3+3x^2+mx+m, tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài

TXĐ: D = R

\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài \(\sqrt{3}\) khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,(*)\)

Với ( \({x_1},{x_2}$\) là 2 nghiệm của phương trình y’=0)

\((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 3m > 0\\ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ 4 - \frac{{4m}}{3} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m = \frac{3}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\)