Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a cạnh bên SA vuông góc với đáy góc BAD bằng 120 độ M là trung điểm BC góc SMA=45 độ

Do ABCD là hình thoi và \(\widehat {BAD} = {120^0}\).

Suy ra ABC là tam giác đều cạnh a.

Nên  \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác SAM vuông tại A.

Ta có:  \(SA = AM.\tan {45^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{8}\)  

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AM\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow SM \bot BC\)  

Xét tam giác SAM vuông tại A: \(SM = \sqrt {A{S^2} + A{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) 

\({S_{SBC}} = \frac{1}{2}.SM.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l} {V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} \Rightarrow \frac{1}{3}d\left( {A,(SBC)} \right).{S_{SBC}} = \frac{{{a^3}}}{8}\\ \Rightarrow d\left( {A,(SBC)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{4} \end{array}\)