Tóm tắt lý thuyết và bài tập về mặt nón – khối nón

Cho đường thẳng \(\Delta \). Xét 1 đường thẳng \(l\) cắt \(\Delta \) tại O và không vuông góc với \(\Delta \).

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng \(l\) nhưthế khi quay quanh \(\Delta \) gọi là mặt nón tròn xoay hay đơn giản là mặt nón

- \(\Delta \) gọi là trục của mặt nón

- \(l\) gọi là đường sinh của mặt nón

- O gọi là đỉnh mặt nón

- Nếu gọi \(\alpha \) là góc giữa \(l\) và \(\Delta \) thì \(2\alpha \) gọi là góc ở đỉnh của mặt nón \(\left( {{0}^{0}}<2\alpha <{{180}^{0}} \right)\)

Cho mặt nón \(N\) với trục \(\Delta \) , đỉnh O và góc ở đỉnh \(2\alpha .\) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng vuông góc với \(\Delta \) tại I khác O.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt nón theo đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm I. Gọi \(\left( P' \right)\) là mặt phẳng vuông góc với \(\Delta \) tại O. Khi đó:

- Phần của mặt nón \(N\) giới hạn bởi 2 mặt phẳng  \(\left( P \right)\) và \(\left( P' \right)\) cùng với hình tròn xác định bởi \(\left( C \right)\) gọi là hình nón.

- Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón: \({{S}_{xq}}=\pi Rl\) với R là bán kính đáy, \(l\) là độ dài đường sinh.

- Thể tích khối nón: \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h\) với R là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao.

Ví dụ: Hình nón tròn xoay có trục \(SO=R\sqrt{3}\) với R là bán kính đáy, thiết diện qua trục của hình nón tạo thành tam giác SAB là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SO và E, F \(\in SO\) sao cho \(\frac{EI}{EO}=\frac{FI}{FO}=\frac{1}{2}.\) Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón là điểm:

A . \(I\)

B. \(E\)  

C. \(F\)

D.\(O\)

Lời giải

Gọi \(O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì:

\(r=O'S=O'A=O'B\)

Ta có: \(OO'=OS-r=R\sqrt{3}-\frac{R}{\text{cos3}{{\text{0}}^{0}}}\)

\(\begin{align} & OO'=R\sqrt{3}-\frac{2R\sqrt{3}}{3}=\frac{R\sqrt{3}}{3} \\ & \Rightarrow \frac{OO'}{OI}=\frac{\frac{R\sqrt{3}}{3}}{\frac{R\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{OO'}{OI}=\frac{2}{3} \\ \end{align}\)

Vậy \(O'\equiv E.\)

Chọn B.

Bài 1: Một hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB=1,\) đáy lớn \(CD=3,\) cạnh bên \(\sqrt{2},BC=DA=\sqrt{2}.\) Cho hình thang đó quay quanh \(AB\) thì được vật tròn xoay có thể tích bằng:

A . \(V=\frac{7}{3}\pi \)

B. \(V=\frac{4}{3}\pi \)

C. \(V=\frac{5}{3}\pi \)

D. \(V=3\pi \)

Lời giải

Kẻ \(AH,BK\) cùng vuông góc với CD.

Gọi \(M,N\) lần lượt là điểm đối xứng của H qua AD và của K qua BC thì tam giác MAD và tam giác NBC là 2 tam giác vuông cân bằng nhau có \(MA=AB=BN=AH=1.\)

\(V=\pi .A{{H}^{2}}.MN-\left( \frac{1}{3}\pi .A{{H}^{2}}.MA+\frac{1}{3}\pi .A{{H}^{2}}.NB \right)=\pi A{{H}^{2}}\left( MN-\frac{MA}{3}-\frac{NB}{3} \right)=\pi .A{{H}^{2}}.\frac{7}{3}.AB=\frac{7}{3}\pi \)

Chọn A.

Bài 2: Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat{BAD}=\alpha \left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right),AD=a\) và \(\widehat{ADB}={{90}^{0}}.\) Quay \(ABCD\) quanh AB, ta được vật tròn xoay có thể tích là:

A . \(V=\pi {{a}^{3}}{{\sin }^{2}}\alpha \)

B. \(V=\pi {{a}^{3}}{{\sin }^{2}}\alpha .c\text{os}\alpha \)                              

C. \(V=\pi {{a}^{3}}\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{\text{cos}\alpha }\)

D. \(V=\pi {{a}^{3}}\frac{\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha }{\sin \alpha }\)

Lời giải

Kẻ \(DH\bot AB,CN\bot AB.\)

Các tam giác vuông HAD và NBC bằng nhau.

\(\begin{align} & DH=CN=a.\sin \alpha \\ & AH=BN=a.\cos \alpha \\ & \Rightarrow HN=AB=\frac{a}{\cos \alpha } \\ \end{align}\)

Khi quay quanh AB, các tam giác vuông

\(AHD\) và \(NBC\) tạo thành hai hình nón tròn xoay bằng nhau nên:

\(V=\frac{1}{3}\pi .D{{H}^{2}}.AH+\left( \pi .D{{H}^{2}}.HN-\frac{1}{3}\pi .C{{N}^{2}}.BN \right)=\pi .D{{H}^{2}}.AB=\pi .{{a}^{2}}.{{\sin }^{2}}\alpha .\frac{a}{\sin \alpha }=\pi {{a}^{3}}\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{\text{cos}\alpha }\)

Chọn C.

Bài 3: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Gọi O’, O là tâm của hai  hình vuông ABCD và \(A'B'C'D'\) và \(O'O=a.\) Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích của hình trụ tròn xoay  đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông \(ABCD,A'B'C'D'\) và \({{V}_{2}}\) là thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Tỉ số thể tích \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\) là:

A . 2  

B. 3 

C. 4 

D. 6

Lời giải

Gọi M trung điểm của AB thì tam giác OAM vuông cân tại M.

\({{R}_{1}}=OA=\frac{\sqrt{2}}{2}\,\,;\,\,\,{{R}_{2}}=OM=\frac{1}{2}\)

\(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\pi R_{1}^{2}.h}{\frac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.h}=3{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}:\left( \frac{1}{4} \right)=6\)

Chọn D.

Bài 4: Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại C, nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường kính AB.Xét điểm S nằm ngoài mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) sao cho \(SA,SB,SC\) tạo với \(\left( ABC \right)\) góc \({{45}^{0}}.\) Hãy chọn phát biểu đúng:

A. Hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là hình nón tròn xoay.

B. Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân

C. Khoảng cách từ O đến 2 thiết diện qua đỉnh \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng nhau

D. Cả 3 bài trên đều đúng

Lời giải

Kẻ \(SO'\bot \left( ABC \right).\) Ta có : \(\Delta SO'A=\Delta SO'B=\Delta SO'C\Rightarrow SA=SB=SC;O'A=O'B=O'C\)

Vậy, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) nên \(O'\equiv O:\text{A}\) đúng.

\(\Delta SAB\) có \(\widehat{SAB}=\widehat{SBA}={{45}^{0}}\) nên là tam giác vuông cân tại S:B đúng.

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại C nên kẻ \(OM\bot CA\) và \(ON\bot CB\) thì: \(OM=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}CA=ON.\)

Chọn D.

Bài 5: Cho tứ diện \(OABC\) có OAB là tam giác vuông cân . \(OA=OB=a,OC=\frac{a}{\sqrt{2}}\) và \(OC\bot \left( OAB \right).\) Xét hình nón tròn xoay đỉnh C, đáy là đường tròn tâm O, bán kính A. Hãy chọn phát biểu sai:

A. Đường kính hình nón bằng \(\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

B. Khoảng cách từ O đến thiết diện \(\left( ABC \right)\) bằng \(\frac{a}{2}\)

C. Thiết diện \(\left( ABC \right)\) là tam giác đều

D. Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc \({{45}^{0}}\)

Lời giải

Tam giác OAB vuông cân tại O nên \(AB=a\sqrt{2}\)

\(\Delta OAC:A{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{C}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\,\,\,;\,\,\,\,\,AC=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Vì \(AB\ne AC:\) sai

Chọn C.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tóm tắt lý thuyết và bài tập về mặt nón – khối nón. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của mặt nón, khối nón

• 28 bài tập trắc nghiệm về Mặt nón - Khối nón Toán 12 có đáp án chi tiết

Chúc các em học tập tốt!