Tóm tắt lý thuyết và bài tập về khối đa diện

• Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.

Tên gọi: khối lăng trụ + tên mặt đáy.

• Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.

Tên gọi: khối chóp + tên mặt đáy.

• Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

KHỐI LĂNG TRỤ LỤC GIÁC

KHỐI CHÓP TỨ GIÁC

Khái niệm về hình đa diện

• Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất

i. Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

ii. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

• Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.

• Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.

Khái niệm về khối đa diện

• Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

• Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.

Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

• Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.

Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.

• Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…của hình đa diện tương ứng.

• Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ.

• Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp.

• Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt.

• Tương tự ta có định nghĩa về khối giác; khối chóp cụt giác, khối chóp đều, khối hộp,…

• Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.

Ví dụ:

• Các hình dưới đây là những khối đa diện:

Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

• Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.

• Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh

• Kết quả 3: Cho \(\left( H \right)\) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có \(p\) cạnh. Nếu số mặt của \(\left( H \right)\) là lẻ thì \(p\) phải là số chẵn.

Chứng minh: Gọi \(m\) là số mặt của khối đa diện \(\left( H \right)\). Vì mỗi mặt của \(\left( H \right)\) có \(p\) cạnh nên \(m\) mặt sẽ có \(pm\) cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của \(\left( H \right)\) bằng \(c=\frac{pm}{2}\). Vì \(m\) lẻ nên \(p\) phải là số chẵn.

• Kết quả 4: (suy ra từ chứng minh kết quả 3): Cho \(\left( H \right)\) là đa diện có \(m\) mặt, mà các mặt của nó là những đa giác \(p\) cạnh. Khi đó số cạnh của \(\left( H \right)\) là \(c=\frac{pm}{2}\).

• Kết quả 5: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số mặt của nó phải là một số chẵn.

Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là \(c\) và \(m\).

Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là \(c=\frac{3m}{2}\) (có thể áp dụng luôn kết quả 4 để suy ra\(c=\frac{3m}{2}\)).

Suy ra \(3m=2c\Rightarrow 3m\) là số chẵn \(\Rightarrow m\) là số chẵn.

Một số khối đa diện có kết như trên mà số mặt bằng 4, 6, 8, 10 :

+ Khối tứ diện \(ABCD\) có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác.

+ Xét tam giác \)BCD\) và hai điểm \(A,\text{ }E\) ở về hai phía của mặt phẳng \(\left( BCD \right)\). Khi đó ta có lục diện \(ABCDE\) có 6 mặt là những tam giác.

+ Khối bát diện \(ABCDEF\) có 8 mặt là các tam giác.

+ Xét ngũ giác \(ABCDE\) và hai điểm \(M,\text{ }N\) ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó khối thập diện \(MABCDEN\) có 10 mặt là các tam giác.

• Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia thành những khối tứ diện.

• Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.

• Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.

Tổng quát : Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn.

• Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

• Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện ó 7 cạnh

• Kết quả 11: Với mỗi số nguyên \(k\ge 3\) luôn tồn tại một hình đa diện có \)2k\) cạnh.

• Kết quả 12: Với mỗi số nguyên \(k\ge 4\) luôn tồn tại một hình đa diện có \)2k+1\) cạnh.

• Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có

+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh ;

+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh ;

• Kết quả 14: Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.

Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều. Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của tứ diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện \({{H}_{6}}\) có 6 mặt là các tam giác đều. Ghép thêm vào \({{H}_{6}}\) một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện \({{H}_{8}}\) có 8 mặt là các tam giác đều. Bằng cách như vậy ta được khối đa diện 2n mặt là những tam giác đều.   

DẠNG 1: NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1.Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là

A. hình (a).                      B. hình (b).                    C. hình (c).                    D. hình (d).

Câu 2. Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là

A. hình (a).                      B. hình (b).                    C. hình (c).                    D. hình (d).

Câu 3. Cho các hình khối sau :

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là

A. 1.                                B. 2.                             C. 3.                             D. 4.

Câu 4. Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện lồi là

A. hình (a).                      B. hình (b).                    C. hình (c).                    D. hình (d).

Câu 5. Cho các hình khối sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là

A. .                                B. .                             C. .                             D. .

Câu 6. Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A. Tứ diện đều.               

B. Bát diện đều.           

C. Hình lập phương.    

D. Lăng trụ lục giác đều.

Câu 7. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A. 6.                                B. 10.                            C. 12.                            D. 11.

Câu 8. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ

Khối tứ diện đều      Khối lập phương      Bát diện đều      Hình 12 mặt đều       Hình 20 mặt đều

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.

B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.

C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.

D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.

DẠNG 2: TÍNH CHẤT CỦA HÌNH ĐA DIỆN

Câu 9. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Khối đa diện \(S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) có đúng \(n+1\) mặt.

B. Khối đa diện \(S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) có đúng \(n+1\) cạnh.

C. Khối đa diện \(S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) có đúng \(n\) đỉnh.

D. Khối đa diện \(S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) có đúng \(n\) cạnh.

Câu 10. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hình tứ diện đều có 6 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt.     

B. Hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 4 cạnh, 4 mặt.

C. Hình tứ diện đều có 6 đỉnh, 4 cạnh, 4 mặt.     

D. Hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt.

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	D	C	B	B	A	D	B	A	D

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tóm tắt lý thuyết và bài tập về khối đa diện. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Tóm tắt lý thuyết và bài tập về đa diện lồi, đa diện đều

• Phương pháp phân chia và lắp ráp khối đa diện

Chúc các em học tập tốt!