Một số phương pháp giải phương trình mũ Toán 12

Với a > 0, a \(\ne\) 1: \({a^x}\, = b\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} b\,\, > \,\,0\\ x\,\, = \,\,{\log _a}b \end{array} \right.\)

a) Đưa về cùng cơ số

Với a > 0, a \(\ne\) 1: \({{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)=g(x)\)      

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:    \({{a}^{M}}={{a}^{N}}\Leftrightarrow (a-1)(M-N)=0\)

b) Logarit hoá:

\({{a}^{f(x)}}={{b}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)=\left( {{\log }_{a}}b \right).g(x)\,\)

c) Đặt ẩn phụ:

• Dạng 1: \(P({{a}^{f(x)}})=0\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} t = {a^{f(x)}},\,\,t > 0\\ P(t) = 0 \end{array} \right.\),  trong đó P(t) là đa thức theo t.

• Dạng 2: \(\alpha {{a}^{2f(x)}}+\beta {{(ab)}^{f(x)}}+\gamma {{b}^{2f(x)}}=0\)

Chia 2 vế cho \({{b}^{2f(x)}}\), rồi đặt ẩn phụ \(t={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f(x)}}\)

• Dạng 3: \({{a}^{f(x)}}+{{b}^{f(x)}}=m\), với  \(ab=1\). Đặt  \(t={{a}^{f(x)}}\Rightarrow {{b}^{f(x)}}=\frac{1}{t}\)

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

• Đoán nhận x₀ là một nghiệm của (1).

• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x₀ là nghiệm duy nhất

• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì \(f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\)

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

• Phương trình tích A. B = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.\)

• Phương trình \({A^2} + {B^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.\)

f) Phương pháp đối lập

Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Nếu ta chứng minh được: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x)\,\,\, \ge \,\,\,M\\ g(x)\,\,\, \le \,\,\,M \end{array} \right.\) thì (1) \( \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l} f(x)\,\, = \,\,M\\ g(x)\,\, = \,\,\,M \end{array} \right.\)

Câu 1: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \({{2}^{x+\frac{1}{4x}}}+{{2}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{x}}}=4\) là

A. 2.                               

B. 3.                             

C. 1.                             

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Điều kiện \(x\ne 0\)

- Nếu \(x>0\Rightarrow x+\frac{1}{4x}\ge 1\), dấu bằng xẩy ra khi \(x=\frac{1}{2}\) và \(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\ge 1\),

dấu bằng xẩy ra khi \(x=2\) suy ra \({{2}^{x+\frac{1}{4x}}}+{{2}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{x}}}>4,\,\forall x>0\)

- Nếu \(x<0\Rightarrow -x-\frac{1}{4x}\ge 1\Rightarrow x+\frac{1}{4x}\le -1\Rightarrow {{2}^{x+\frac{1}{4x}}}\le \frac{1}{2}\), dấu bằng xẩy ra khi \(x=-\frac{1}{2}\)

và \(-\frac{x}{4}-\frac{1}{x}\ge 1\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{1}{x}\le -1\Rightarrow {{2}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{x}}}\le \frac{1}{2}\), dấu bằng xẩy ra khi \(x=2\)

Suy ra \({{2}^{x+\frac{1}{4x}}}+{{2}^{\frac{x}{4}+\frac{1}{x}}}<1,\,\forall x<0\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bình luận:

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\), dấu “=” xảy ra khi \(a=b.\)

Câu 2: Phương trình \({{2}^{x-3}}={{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) trong đó \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), hãy chọn phát biểu đúng?

A. \(3{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}={{\log }_{3}}8\).  

B. \(2{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}={{\log }_{3}}8\).

C. \(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}={{\log }_{3}}54.\) 

D. \(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}={{\log }_{3}}54.\)

Hướng dẫn giải:

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{2}^{x-3}}={{\log }_{2}}{{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}\)

\(\Leftrightarrow \left( x-3 \right){{\log }_{2}}2=\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right){{\log }_{2}}3\Leftrightarrow \left( x-3 \right)-\left( x-2 \right)\left( x-3 \right){{\log }_{2}}3=0\)

Câu 3: Phương trình \({{3}^{3+3x}}+{{3}^{3-3x}}+{{3}^{4+x}}+{{3}^{4-x}}={{10}^{3}}\)có tổng các nghiệm là?

A. 0.                               

B. 2.                             

C. 3.                             

D. 4.

Hướng dẫn giải:

\({{3}^{3+3x}}+{{3}^{3-3x}}+{{3}^{4+x}}+{{3}^{4-x}}={{10}^{3}}\) \(\left( 7 \right)\)

\(\left( 7 \right)\Leftrightarrow {{27.3}^{3x}}+\frac{27}{{{3}^{3x}}}+{{81.3}^{x}}+\frac{81}{{{3}^{x}}}={{10}^{3}}\Leftrightarrow 27.\left( {{3}^{3x}}+\frac{1}{{{3}^{3x}}} \right)+81.\left( {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)={{10}^{3}}\text{   }\left( {{7}'} \right)\)

Đặt \(t={{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}}\overset{C\hat{o}si}{\mathop{\ge }}\,2\sqrt{{{3}^{x}}.\frac{1}{{{3}^{x}}}}=2\)

\(\Rightarrow {{t}^{3}}={{\left( {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)}^{3}}={{3}^{3x}}+{{3.3}^{2x}}.\frac{1}{{{3}^{x}}}+{{3.3}^{x}}.\frac{1}{{{3}^{2x}}}+\frac{1}{{{3}^{3x}}}\Leftrightarrow {{3}^{3x}}+\frac{1}{{{3}^{3x}}}={{t}^{3}}-3t\)

Khi đó: \(\left( 7' \right)\Leftrightarrow 27\left( {{t}^{3}}-3t \right)+81t={{10}^{3}}\Leftrightarrow {{t}^{3}}=\frac{{{10}^{3}}}{27}\Leftrightarrow t=\frac{10}{3}>2\text{  }\left( N \right)\)

Với \(t=\frac{10}{3}\Rightarrow {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}}=\frac{10}{3}\text{   }\left( {{7}''} \right)\)

Đặt \(y={{3}^{x}}>0\). Khi đó:

Với \(y=3\Rightarrow {{3}^{x}}=3\Leftrightarrow x=1\)

Với \(y=\frac{1}{3}\Rightarrow {{3}^{x}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=-1\)

Câu 4: Phương trình \({{3}^{2x}}+2x\left( {{3}^{x}}+1 \right)-{{4.3}^{x}}-5=0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. \(1.\)                           

B. \(2.\)                         

C. \(0.\)                        

D. \(3.\)

Hướng dẫn giải:

\({{3}^{2x}}+2x\left( {{3}^{x}}+1 \right)-{{4.3}^{x}}-5=0\)\(\Leftrightarrow \left( {{3}^{2x}}-1 \right)+2x\left( {{3}^{x}}+1 \right)-\left( {{4.3}^{x}}+4 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}+1 \right)+\left( 2x-4 \right)\left( {{3}^{x}}+1 \right)=0\)\(\Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}+2x-5 \right)\left( {{3}^{x}}+1 \right)=0\)\(\Leftrightarrow {{3}^{x}}+2x-5=0\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{x}}+2x-5\), ta có :\(f\left( 1 \right)=0\).

\(f'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3+2>0;\forall x\in \mathbb{R}\). Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=1\)

BÌNH LUẬN

Có thể đặt \(t={{3}^{x}}>0\)sau đó tính delta theo \(x\)

Câu 5: Tìm số nghiệm của phương trình \({{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+...+{{2016}^{x}}+{{2017}^{x}}=2016-x\).

A. \(1\).                           

B. \(2016\).                   

C. \(2017\).                  

D. \(0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Xét phương trình \({{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+...+{{2016}^{x}}+{{2017}^{x}}=2016-x\) (*) có:

Vế trái (*): \({{2}^{x}}+{{3}^{x}}+{{4}^{x}}+...+{{2016}^{x}}+{{2017}^{x}}=f(x)\) là hàm số đồng biến trên R.

Vế phải (*): \(2016-x=g(x)\) là hàm số nghịch biến trên R.

Khi đó phương trình (*) có không quá \(1\) nghiệm.

Mà \(f(0)=2016=g(0)\) nên suy ra (*) có \(1\) nghiệm duy nhất là \(x=0\).

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số phương pháp giải phương trình mũ Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm nghiệm của phương trình mũ Toán 12

• Phương pháp tìm đạo hàm của hàm số mũ và logarit

Chúc các em học tập tốt!