Phương pháp tìm đạo hàm của hàm số mũ và logarit

Phương pháp: Đối với bài toán tính đạo hàm hoặc chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

Dùng các công thức tính đạo hàm

\({\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a\)

\({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\)

\({\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\)

\({\left( {\ln \left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\)

Thay vào các đẳng thức chứa đạo hàm ta thu được kết quả

Casio:

Nhập \({\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}}\) thay cho đạo hàm và ấn ; kiểm tra giá trị \(f’\left( {{x_0}} \right)\)

CALC \(x = {x_0}\) vào kết quả A, B, C, D và so sánh các kết quả.

Xét hiệu \({\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = {x_0}}} – f’\left( x \right) = 0\) kiểm tra mệnh đề đúng.

Ví dụ 1: Đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( { – x – 3} \right)\).

Ⓐ.\(\frac{1}{{\left( { – x – 3} \right)\ln 2}}\). 

Ⓑ. \(\frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\ln 2}}\). 

Ⓒ.\(\left( { – x – 3} \right)\ln 2\). 

Ⓓ. \(\left( {x + 3} \right)\ln 2\).

Lời giải

Chọn B

Điều kiện:\(x < – 3\) .

\({\left( {{{\log }_2}\left( { – x – 3} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( { – x – 3} \right)}^\prime }}}{{\left( { – x – 3} \right)\ln 2}} = \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\ln 2}}\).

Phương pháp:

. Tìm điều kiện của hàm số và giải điều kiện ta thu được tập xác định của hàm số.

.Với hàm số \(y = {a^x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

.Với hàm số \(y = {\log _a}{\left( {f\left( x \right)} \right)^n}\)

Xác định khi \(a > 0;a \ne 1\)và \(f\left( x \right) > 0\) khi n lẻ hoặc \(f\left( x \right) \ne 0\) khi n chẵn.

Ví dụ 2: Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)\)

Ⓐ. \(D = \left( { – 1;3} \right)\) 

Ⓑ. \(D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Ⓒ. \(D = \left[ { – 1;3} \right]\) 

Ⓓ. \(D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định khi \({x^2} – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow x \in \)\(\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

- Phương pháp:

Xét hàm số \(y = {\left[ {f(x)} \right]^\alpha }\)

. Khi \(\alpha \) nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x)\) xác định.

. Khi \(\alpha \) nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x) \ne 0\).

. Khi \(\alpha \) không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi \(f(x) > 0\).

. Casio: table \( \to \) NHẬP HÀM \( \to \) START: a \( \to \)END: b \( \to \) STEP khéo tý.

Lưu ý: Chỉ dùng MTCT để loại trừ là chính, và không dùng MTCT để chọn trực tiếp đáp án. Đối với TXĐ hàm số lũy thừa an toàn nhất vẫn là giải theo công thức.

Ví dụ 3: Hàm số \(y = {\left( {x – 2} \right)^{\frac{1}{2}}}\) có tập xác định là

Ⓐ. \(D = \left[ {2; + \infty } \right)\). 

Ⓑ. \(D = \mathbb{R}\). 

Ⓒ. \(D = \left( {2; + \infty } \right)\). 

Ⓓ. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Lời giải

Chọn C

Hàm số \(y = {\left( {x – 2} \right)^{\frac{1}{2}}}\) xác định khi \(x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( {2; + \infty } \right)\).

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. Đồ thị hàm số\(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha > 0\) không có tiệm cận.

B. Đồ thị hàm số\(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\) có hai tiệm cận.

C. Hàm số\(y = {x^\alpha }\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).

D.Hàm số\(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha < 0\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Câu 2: Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{x}}}\left( {1 – 2x + {x^2}} \right)\). Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\). 

B. Hàm số liên tục trên \(\left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

C. Hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). 

D. Hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Câu 3: Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ.

A. \(y = {5^{\frac{x}{3}}}\). 

B. \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\). 

C. \(y = {4^{ – x}}\). 

D. \(y = {x^{ – 4}}\).

Câu 4: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) có đúng \(1\) tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) có đúng \(1\) tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) có đúng \(1\) tiệm cận ngang và đúng \(1\) tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) không có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

Câu 5: Cho \({a^{2b}} = 5\). Tính \(2.{a^{6b}}\).

A. \(15\). 

B. \(125\). 

C. \(120\). 

D. \(250\).

Câu 6: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không phải hàm số mũ?

A. \(y = {5^x}\) . 

B. \(y = {4^{ – x}}\) . 

C.  \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) . 

D. \(y = {x^{ – 4}}\) .

Câu 7: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ?

A. \(y = {\left( {\sin x} \right)^3}\). 

B. \(y = {3^x}\). 

C. \(y = {x^3}\). 

D. \(y = \sqrt[3]{x}\).

Câu 8: Cho hàm số  \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) . 

B. Đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục Ox . 

D. Đồ thị hàm số nhận Ox làm tiệm cận ngang.

Câu 9: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số mũ?

A. \(y = {3^x}\).

B. \(y = \frac{1}{{{4^x}}}\).

C. \(y = {\pi ^x}\).

D. \(y = {x^\pi }\).

Câu 10: Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực\(x,{\rm{ }}y\)?

A. \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = \frac{{{2^x}}}{3}\). 

B. \({2^x}{.2^y} = {2^{x + y}}\). 

C. \(\frac{{{2^x}}}{{{2^y}}} = {2^{\frac{x}{y}}}\). 

D. \({\left( {{2^x}} \right)^y} = {2^{x + y}}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm đạo hàm của hàm số mũ và logarit. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Các quy tắc tính đạo hàm và bài tập áp dụng

• 80 bài tập trắc nghiệm về Tích phân của hàm số mũ, lôgarit Toán 12 có đáp án

Chúc các em học tốt!