Phương pháp tìm nghiệm của phương trình mũ Toán 12

- Phương pháp:

\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\)

\({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b;\)

Ví dụ 1: Phươg trình\({3^{2x + 1}} = 27\) có nghiệm là

Ⓐ. \(x = 2\). 

Ⓑ. \(x = – 3\). 

Ⓒ.\(x = 3\). 

Ⓓ.\(x = 1\).

Lời giải

Chọn D

\({3^{2x + 1}} = 27  \Leftrightarrow {3^{2x + 1}} = {3^3} \Leftrightarrow 2x + 1 = 3 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\)

Ví dụ 2: Phươg trình có \({3^{{x^2} – 3x + 8}} = {9^{2x – 1}}\) có tổng các nghiệm bằng

Ⓐ. \(S = 5\). 

Ⓑ. \(S = 7\). 

Ⓒ.\(S = 3\). 

Ⓓ.\(S = 2\).

Lời giải

Chọn B

\(\begin{array}{l}{3^{{x^2} – 3x + 8}} = {9^{2x – 1}} \Leftrightarrow {3^{{x^2} – 3x + 8}} = {3^{4x – 2}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 8 = 4x – 2\\ \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

\(S = 5 + 2 = 7\)

- Phương pháp:

\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Ví dụ 3: Phươg trình \({5^{2x + 1}} = 125\) có nghiệm là

Ⓐ. \(x = \frac{5}{2}\). 

Ⓑ. \(x = \frac{3}{2}\). 

Ⓒ.\(x = 3\). 

Ⓓ.\(x = 1\)

Lời giải

Chọn D

\({5^{2x + 1}} = 125 \Leftrightarrow {5^{2x + 1}} = {5^3} \Leftrightarrow 2x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1\).

Ví dụ 4: Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({9^{{x^2} – 3x + 2}} = 1\).

Ⓐ. \(S = \left\{ 1 \right\}\) . 

Ⓑ. \(S = \left\{ {0;1} \right\}\). 

Ⓒ.\(S = \left\{ {1; – 2} \right\}\). 

Ⓓ.\(S = \left\{ {1;2} \right\}\).

Lời giải

Chọn D

\({9^{{x^2} – 3x + 2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

- Phương pháp:

Với \(0 < a \ne 1\), \(f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {a^{g\left( x \right)}} > 0\\f\left( t \right) = 0\end{array} \right.\).

Dạng 1: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},t > 0\) đưa phương trình \(\left( 1 \right)\)về dạng phương trình bậc 2: \(m{t^2} + nt + p = 0\).

Giải phương trình tìm nghiệm \(t\) và kiểm tra điều kiện \(t > 0\).

Sau đó thế vào phương trình \(t = {a^{f\left( x \right)}}\) tìm nghiệm \(x\).

Dạng 2: \(m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0\), trong đó \(a.b = 1\).

Đặt \(t = {a^{f\left( x \right)}},t > 0\). suy ra \({b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}\).

Hoặc có dạng \(m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{a^{ – f\left( x \right)}} + p = 0\)

Dạng 3: \(m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\).\(\left( 1 \right)\)

Chia hai vế cho \({b^{2f\left( x \right)}}\) và đặt \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = t > 0\).

Đưa phương trình \(\left( 1 \right)\) về dạng phương trình bậc hai để giải.

Ví dụ 5: Phương trình \({2.4^x} – {7.2^x} + 3 = 0\) có tích tất cả các nghiệm bằng

Ⓐ. \(x = – {\log _2}3\) 

Ⓑ. \(x = {\log _2}3\)

Ⓒ.\(x = – 1\) 

Ⓓ.\(x = 1,x = {\log _2}3\)

Lời giải

Chọn D

\({2.4^x} – {7.2^x} + 3 = 0\)

Đặt \(t = {2^x}\), \(t > 0\). Phương trình trở thành \(2{t^2} – 7t + 3 = 0 \Leftrightarrow \)

Với \(t = \frac{1}{2}\), ta được \({2^x} = {2^{ – 1}} \Leftrightarrow x = – 1\)

Với \(t = 3\), ta được \({2^x} = 3 \Leftrightarrow x = {\log _2}3\)

Vậy\(S = \left\{ {{{\log }_2}3; – 1} \right\}\) nên. \(P = {x_1}{x_2} = – {\log _2}3\)

Ví dụ 6: Tổng các nghiệm của phương trình \({2^{2x – 3}} – {3.2^{x – 2}} + 1 = 0\) là

Ⓐ. \(6\). 

Ⓑ. \(1\). 

Ⓒ. \(3\). 

Ⓓ. \( – 4\) 

Lời giải

Chọn A

\(\begin{array}{l}{2^{2x – 3}} – {3.2^{x – 2}} + 1 = 0\\ < = > \frac{{{2^{2x}}}}{8} – \frac{3}{4}{2^x} + 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x},t > 0\). Phương trình trở thành \({t^2} – 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = 2\end{array} \right.\)

Với \(t = 4\), ta được \({2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2\)

Với \(t = 2\), ta được \({2^x} = 2 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\), \(x = 1\).\) \Rightarrow S = 3\).

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?

A. \({4^x} – 4 = 0.\) 

B. \({9^x} + 1 = 0.\) 

C. \({\log _3}\left( {x + 1} \right) = 1.\) 

D. \(\log \left( {x + 2} \right) = 2.\)

Câu 2: Tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + 5x + 5} \right) = 1\) là

A. \(S = \left\{ {0;\, – 4} \right\}\). 

B. \(S = \emptyset \). 

C. \(S = \left\{ { – 1;\, – 4} \right\}\). 

D. \(S = \left\{ { – 5;\,0} \right\}\).

Câu 3: Bất phương trình \({2^x} > 4\) có tập nghiệm là:

A. \(T = \left( {2; + \infty } \right)\). 

B. \(T = \left( {0;2} \right)\). 

C. \(T = \left( { – \infty ;2} \right)\). 

D. \(T = \emptyset \).

Câu 4: Nghiệm của phương trình \({2^x} = 7\) là

A. \(x = \sqrt 7 \). 

B. \(x = \frac{7}{2}\). 

C. \(x = {\log _2}7\). 

D. \(x = {\log _7}2\).

Câu 5: Phương trình \({8^x} = 4\) có nghiệm là.

A. \(x = – 2\). 

B. \(x = \frac{2}{3}\). 

C. \(x = – \frac{1}{2}\). 

D. \(x = \frac{1}{2}\).

Câu 6: Phương trình \({5^x} = 2\) có nghiệm là

A. \(x = {\log _5}2\). 

B. \(x = \frac{5}{2}\). 

C. \(x = \frac{2}{5}\). 

D. \(x = {\log _2}5\).

Câu 7: Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4\) bằng

A. \(1\). 

B. \( – 2\). 

C. \(2\). 

D. \( – 1\).

Câu 8: Cho phương trình \({3^{x – 4}} = 1\) có nghiệm là

A. \(x = – 4\) 

B. \(x = 4\) 

C. \(x = 0\) 

D. \(x = 5\)

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge 2\) là.

A. \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\). 

B. \(\left[ { – 1; + \infty } \right)\). 

C. \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\). 

D. \(\left( { – 1; + \infty } \right)\).

Câu 10: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ – x}}\) là

A. \(S = \left( { – \infty ;2} \right)\). 

B. \(S = \left( { – \infty ;1} \right)\). 

C. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\). 

D. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).

ĐÁP ÁN

1.B

2.D

3.A

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.A

10.D

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm nghiệm của phương trình mũ Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit

• Chuyên đề ôn thi THPT QG về bất phương trình mũ

Chúc các em học tốt!