Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 3 Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều

Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử V_K là phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng a thành đường thẳng a′, lấy \(M,N \in a;{V_k}\left( M \right) = M';{V_k}\left( N \right) = N';M',N' \in a'\) 

Ta có: \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN}  \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {M'N'} \)  do đó hai đường thẳng a và a′ song song hoặc trùng nhau.

b) Giả sử phép vị tự V_k biến mặt phẳng (α) thành mp (α′)). Lấy trên (α) hai đường thẳng cắt nhau a và b thì ảnh của chúng qua V_k là hai đường thẳng a′ và b′ nằm trên (α′) và lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Từ đó suy ra hai mặt phẳng (α) và (α′) song song hoặc trùng nhau.

---

Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:

a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi A′,B′,C′,D′ lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD,CDA,BDA,ABC của tứ diện đều ABCDcó trọng tâm G.
Ta có \(\overrightarrow {GA'}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {GA} \)

Gọi \( V_{\left( {G;\frac{{ - 1}}{3}} \right)}}\)  là phép vị tự tâm G tỉ số −1/3 ta có A′,B′,C′,D′ lần lượt là ảnh của A,B,C,D qua phép vị tự V. Từ đó suy ra: 

\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{C'D'}}{{CD}} = \frac{{D'A'}}{{DA}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = \frac{1}{3}\)

Do đó nếu ABCD là tứ diện đều thì A′B′C′D′ cũng là tứ diện đều.

Câu b:

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC của khối tứ diện đều ABCD. Khi đó, tám tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là M, N, P, Q, R, S mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều.

---

Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều :
a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ;
b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau ;
c) Ba đường chéo bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Giả sử SABCDS′ là khối tám mặt đều. Ba đường chéo của nó là SS′, AC và BD. Bốn điểm A, B, C, D cách đều hai điểm S và S′ nên cùng nằm trên một mặt phẳng.

Vậy ABCD là hình thoi, ngoài ra S cách đều A, B, C, D nên hình thoi đó là hình vuông. Suy ra hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, chúng vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. Tương tự đối với các cặp đường chéo còn lại.

---

Chứng minh rằng :

a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ;

b) Tâm cảc mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là tâm của các mặt ABCD, A′B′C′D′, ABB′A′, CDD′C′, BCC′B′, ADD′A′ của khối lập phương ABCD.A′B′C′D′. Khi đó tám tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là M, N, P, Q, R, S mà mỗi đỉnh có 4 cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều.

Câu b:

Cho khối tám mặt đều SABCDS′. Gọi M, N, P, Q, M′,N′,P′,Q′ lần lượt là trọng tâm của các mặt SAB, SBC, SCD, SAD, S′AB, S′BC, S′CD, S′DA thì các tứ giác MNPQ, M′N′P′Q′, MNN′M′, PQQ′P′, NPP′N′, MQQ′M′ đều là hình vuông và mỗi đỉnh M, N, P, Q, M′, N′, P′, Q′ đều là đỉnh chung của 3 cạnh.

Vậy MNPQ.M′N′P′Q′ là khối lập phương.

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1 Bài 3 Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!