Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 1 Bài 2 Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện

Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thắng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a′. Trong trường hợp nào thì :

a) a trùng với a′;

b) a song song với a′;

c) a cắt a′;

d) a và a′ chéo nhau ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

a trùng với a′ khi aa nằm trên mp(P) hoặc a vuông góc với mp(P)

Câu b:

a song song với a′ khi a song song với mp(P).

Câu c:

Câu d:

a và a′ không bao giờ chéo nhau.

---

Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây 

a) Hình chóp tứ giác đều ;

b) Hình chóp cụt tam giác đều ;

c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là các mặt phẳng:

- Mp(SAC)

- Mp(SBD)

- Mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

- Mặt phẳng trung trực của đoạn AD.

Câu b:

Hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB, BC, CA

Câu c:

Hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ (mà không có mặt nào là hình vuông) có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh AB, AD, AA′

---

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng :

a) Các hình chóp A.A′B′C′D′ và C.ABCD bằng nhau ;

b) Các hình lăng trụ ABC.A′B′C′ và AA′D′.BB′C′ bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình lập phương.

Câu a:

Phép đối xứng tâm OO biến các đỉnh của hình chóp A.A′B′C′D′ thành các đỉnh của hình chóp C′.ABCD

Vậy hai hình chóp đó bằng nhau.

Câu b:

Phép đối xứng qua mp(ADC′B′) biến các đỉnh của hình lăng trụ ABC.A′B′C′ thành các đỉnh của lăng trụ AA′D′.BB′C′ nên hai hình lăng trụ đó bằng nhau.

---

Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.

Hướng dẫn giải:

* 

Giả sử \({T_{\overrightarrow v }}\) là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow v \)

\(\begin{array}{l}
{T_{\overrightarrow v }}:M \to M\prime \\
N \to N\prime 
\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {NN'}  = \vec v \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'}  \Rightarrow MN = M'N'\)

Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.

* 

Giả sử \({\mathop N\limits^\~ _d}\) là phép đối xứng qua đường thẳng d

Giả sử

\(\begin{array}{l}
{{\tilde N}_d}:M \to M'\\
N \to N'
\end{array}\)

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM′ và NN′.

Ta có:

\(\begin{array}{l}

\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {M'N'}  = \left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {KN} } \right) + \left( {\overrightarrow {M'H}  + \overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {KN'} } \right) = 2\overrightarrow {HK} \\
\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {HN}  - \overrightarrow {HM}  - \overrightarrow {HN'}  + \overrightarrow {HM'}  = \overrightarrow {N'N}  + \overrightarrow {MM'} 
\end{array}\)

Vì \(\overrightarrow {MM'}  \bot \overrightarrow {HK} \) và \(\overrightarrow {NN'}  \bot \overrightarrow {HK} \) nên 

\(\begin{array}{l}
{\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {M'N'} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {M'N'} } \right)\left( {\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {M'N'} } \right) = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {N'N}  + \overrightarrow {MM'} } \right)\\
 \Rightarrow M{N^2} = M'N{'^2} \Rightarrow MN = M'N'
\end{array}\)

Vậy phép đối xứng qua d là phép dời hình.

* Nếu phép đối xứng qua tâm O biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M′, N′ thì \(\overrightarrow {OM'}  =  - \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON'}  =  - \overrightarrow {ON} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {ON'}  - \overrightarrow {OM'}  =  - \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {NM}  \Rightarrow M'N' = MN\)

  Vậy phép đối xứng tâm O là một phép dời hình.

---

Chứng minh rằng :
a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến ;
b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho AB ⊥ (P). Với một điểm M bất kì, ta gọi M₁ là điểm đối xứng với M qua mp(P) và M′ là điểm đối xứng với M₁ qua mp(Q)
Như vậy M′ là ảnh của M qua phép hợp thành của phép đối xứng qua mp(P)và phép đối xứng qua mp(Q).
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM₁ và M₁M′ thì ta có:

\(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}M'}  = 2\left( {\overrightarrow {H{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) = 2\overrightarrow {HK}  = 2\overrightarrow {AB} \)

Như vậy phép hợp thành nói trên chính là phép tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow {AB} \)

Câu b:

Giả sử (P) ⊥ (Q) và d = (P) ∩ (Q)
Gọi M₁ là điểm đối xứng của M qua (P) và H là trung điêm của MM₁
Gọi M′ là điểm đối xứng của M₁ qua (Q) và K là trung điểm của M₁M′
Gọi O là giao điểm của (MM₁M′) với d
Ta có (MM₁M′) ⊥ (P); (MM₁M′) ⊥ (Q) => (MM₁M′) ⊥ d
Ta có OHM₁K là hình chữ nhật và 
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM'}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HM}  + \overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KM'} \\
 = \left( {\overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\overrightarrow {{M_1}H}  + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) = \overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}O}  = \overrightarrow 0 
\end{array}\)

Suy ra O là trung điểm của MM′, mặt khác MM′ ⊥ d. Vậy phép hợp thành của phép đối xứng qua mp(P) và phép đối xứng qua mp(Q) với (P) ⊥ (Q) là phép đối xứng qua đường thẳng d.

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 1  Bài 2 Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!