Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 1: Dãy số

Lý thuyết10 Trắc nghiệm31 BT SGK 0 FAQ

Học247 mời các em tham khảo tóm tắt bài giảng và hệ thống bài tập Bài 1: Dãy số Toán 11 Cánh Diều bên dưới đây. Thông qua bài giảng này các em có thể nhận biết được khái niệm, các tính chất cơ bản và cách xác định một dãy số. Chúc các em học tập tốt!

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khái niệm

1.2. Cách cho một dãy số

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

1.4. Dãy số bị chặn

2. Bài tập minh hoạ

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khái niệm

Khái niệm dãy số hữu hạn

- Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → ℝ (m ∈ ℕ^*) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số u_k nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_m.

- Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Khái niệm dãy số vô hạn

- Mỗi hàm số u: ℕ^* → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số u_n nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_n,...

- Dãy số đó còn được viết tắt là (u_n).

- Số u₁ gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u₂ gọi là số hạng thứ hai,…, số u_n gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

1.2. Cách cho một dãy số

Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:

- Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).

- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Cho bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ

- Dãy số: 1, 3, 5, 7, 9, 11 là dãy cho bởi cách liệt kê các số hạng.

- Dãy số (u_n) gồm các số tự nhiên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó (u_n) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

- Khi nói đến dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n}{2 n + 1}$ ta hiểu đó là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

- Dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 1 và u_n = 3 – 2u_{n – 1}, với n ≥ 2. Đây là dãy cho bởi phương pháp truy hồi.

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay giảm.

Chẳng hạn, dãy số (u_n) với (u_n) = (–1)ⁿ có dạng khai triển –1, 1, –1, 1, –1, … không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

1.4. Dãy số bị chặn

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n ∈ ℕ^*.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

Ví dụ. CMR: Dãy số (u_n) với u_n = 2n² – 3 là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

- Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 ⇒ n² ≥ 1

⇒ u_n = 2n² – 3 ≥ 2.1 – 3 = –1.

⇒ u_n ≥ –1

⇒ Dãy (u_n) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

- (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n² – 3 ≤ M với mọi n ∈ N*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Bài tập minh họa

Câu 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = (–1)ⁿ.2n.

a) Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy;

b) Viết dạng khai triển của dãy.

Hướng dẫn giải

a) 6 số hạng đầu của dãy là:

u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –6; u₄ = 8; u₅ = –10; u₆ = 12.

b) Dạng khai triển của dãy (u_n) là: –2, 4, –6, 8,..., (–1)ⁿ.2n,...

Câu 2. CMR dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{4}{3} - n^{2}$ là dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

$\begin{align} & {{u}_{n+1}}=\frac{4}{3}-{{(n+1)}^{2}}=\frac{4}{3}-{{n}^{2}}-2n-1 \\ & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( \frac{4}{3}-{{n}^{2}}-2n-1 \right)-\left( \frac{4}{3}-{{n}^{2}} \right)=-2n-1=-\left( 2n+1 \right) \\ \end{align}$

- Vì n ∈ ℕ* nên 2n + 1 ≥ 3

Suy ra – (2n + 1) ≤ –3 < 0

Do đó u_n+1 < u_n, suy ra dãy số là dãy số giảm.

- Vì n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ* nên – n² ≤ –1

Suy ra $\frac{4}{3} - n^{2} \leq \frac{1}{3}$

Hay $u_{n} \leq \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên.

3. Luyện tập Bài 1 Chương 2 Toán 11 Cánh Diều

Sau khi học xong bài này, các em sẽ:

- Nhận biết được khái niệm dãy số.

- Các tính chất cơ bản và cách xác định một dãy số.

3.1. Trắc nghiệm Bài 1 Chương 2 Toán 11 Cánh Diều

Để cũng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Tìm CTTQ $u_n$ theo n của dãy số sau $\left\{\begin{matrix}u_{1}=2\\ u_{n+1}=2u_{n}\end{matrix}\right.$?
- A. $u_{n} = n^{2} - 3n + 10$
- B. $u_{n} = 2^{n}$
- C. $u_{n} = 2n$
- D. $u_{n} = n + 2$
Câu 2:
Cho dãy số ($u_n$) có số hạng tổng quát $u_{n}=\frac{2n+1}{n+2}$. Số $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ mấy?
- A. 300.
- B. 212.
- C. 250.
- D. 249.
Câu 3:
Tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_{n}$ theo n của dãy số sau $\left\{\begin{matrix}u_{1}=3\\ u_{n+1}=u_{n}+2\end{matrix}\right.$?
- A. $u_{n} = 3n + n^{2} -1$
- B. $u_{n} = 2n + 1$
- C. $u_{n} = 4n - 10$
- D. Đáp án khác

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK Bài 1 Chương 2 Toán 11 Cánh Diều

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 11 Cánh Diều

Khởi động trang 43 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 43 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 44 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 44 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 44 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 45 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 46 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 46 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 46 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 47 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 5 trang 47 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 1 trang 47 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD