Tìm CT tính số hạng tổng quát \(u_{n}\) theo n của dãy số sau \(\left\{\begin{matrix}u_{1}=3\\ u_{n+1}=u_{n}+2\end{matrix}\right.\)?

Ta có:

\(u_{2}=u_{1}+2=3+2=5.\)

\(u_{3}=u_{2}+2=5+2=7.

\(u_{4}=u_{3}+2=7+2=9.\)

\(u_{5}=u_{4}+2=9+2=11.\)

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát \(u_n\) có dạng:

\(u_{n}=2n+1\) ∀ n ≥ 1 (*)

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.

Với \(n =1;~u_{1} =2.1 +1 = 3\) (đúng). Vậy (*) đúng với n =1

Giả sử (*) đúng với n = k. Có nghĩa ta có: \(u_{k} = 2k +1\) (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 có nghĩa là ta phải chứng minh:

\(u_{k+1} = 2(k+1)+1= 2k + 3\)

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

\(u_{k+1} = u_{k} +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi n = k + 1.

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án B