Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết10 Trắc nghiệm31 BT SGK 0 FAQ

Nội dung Bài 2: Cấp số cộng Toán 11 Cánh Diều sẽ giới thiệu đến các em khái niệm về cấp số cộng, công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Thông qua các bài tập minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm vững được nội dung phần này và vận dụng vào các bài tập tương tự. Chúc các em học thật tốt!

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

1.2. Số hạng tổng quát

1.3. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

2. Bài tập minh hoạ

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_n = u_{n – 1} + d với n ≥ 2

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

- Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: u_n – u_{n – 1} = d.

1.2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2

Nhận xét: Với d ≠ 0, từ công thức u_n = u₁ + (n – 1)d.

Ta có: \(n=\frac{{{u}_{n}}-{{u}_{1}}}{d}+1\) với n ≥ 2.

1.3. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ +…+ u_n.

Khi đó: \({{S}_{n}}=\frac{({{u}_{1}}+{{u}_{n}})n}{2}\)

Nhận xét: Do u_n = u₁ + (n – 1)d nên u₁ + u_n = 2u₁ + (n – 1)d.

Suy ra \({{S}_{n}}=\frac{\left[ 2{{u}_{1}}+(n-1)d \right]n}{2}\).

Bài tập minh họa

Bài 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = 5 – 3n.

a) Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số cộng. Tìm u₁ và d.

b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = [5 – 3(n + 1)] – (5 – 3n) = –3.

Do đó u_{n + 1} = u_n + (–3)

Suy ra dãy số (u_n) là cấp số cộng; u₁ = 5 – 3.1 = 2; công sai d = –3.

b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

\({{S}_{100}}=\frac{\left[ 2{{u}_{1}}+(100-1)d \right]100}{2}=\frac{\left[ 2.2+(100-1).-3 \right].100}{2}=-14650\)

Bài 2. Cho cấp số cộng có u₁ = 3; công sai d = 4.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát u_n.

b) Số 155 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Tính tổng 200 số hạng đầu của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức của số hạng tổng quát u_n là:

u_n = u₁ + (n – 1).d = 3 + (n – 1).4 = 4n – 1.

Vậy u_n = 4n – 1.

b) Giả sử 155 là số hạng thứ n của cấp số cộng.

Ta có:

\(n=\frac{{{u}_{n}}-{{u}_{1}}}{d}+1=\frac{155-3}{4}+1=39\)

Vậy 155 là số hạng thứ 39 của cấp số cộng.

c) Tổng 200 số hạng đầu của dãy là:

\({{S}_{200}}=\frac{\left[ 2{{u}_{1}}+(200-1)d \right]200}{2}=\frac{\left[ 2.3+(200-1).4 \right].200}{2}=80200\)

Vậy tổng 200 số hạng đầu của dãy là S₂₀₀ = 80200.

3. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Toán 11 Cánh Diều

Học xong bài này, các em có thể:

- Nhận biết được cấp số cộng.

- Biết được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

- Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng và cấp số nhân.

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng.

3.1. Trắc nghiệm Bài 2 Chương 2 Toán 11 Cánh Diều

Để cũng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Dãy số (\(u_n\)) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai d, biết rằng: \(u_{n} = 2 n+ 3\)?
- A. d = -2
- B. d = 3
- C. d = 5
- D. d = 2
Câu 2:
Cho một cấp số cộng có \(u_1=−3;u_6=27\). Tìm giá trị của d?
- A. d = 5
- B. d = 7
- C. d = 6
- D. d = 8
Câu 3:
Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào là đúng?
- A. \(a^2+c^2=2ab+2bc\)
- B. \(a^2−c^2=2ab−2bc\)
- C. \(a^2+c^2=2ab−2bc\)
- D. \(a^2−c^2=ab−bc\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK Bài 2 Chương 2 Toán 11 Cánh Diều

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 11 Cánh Diều

Khởi động trang 49 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 49 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 49 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 50 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 50 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 50 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 50 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 51 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 1 trang 51 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 2 trang 52 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 3 trang 52 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 4 trang 52 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD