Bài tập 12 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Xét hiệu: \(H = {u_{n + 1}} - {u_n} \)

\(= \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}} \\= \frac{{an + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\)

\( = \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} - \frac{{\left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} \\= \frac{{\left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + a + 2} \right] - \left[ {a{n^2} + \left( {2a + 2} \right)n + 4} \right]}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để dãy số tăng, ta cần \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(H > 0 \Leftrightarrow \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2\).

Vậy với \(a > 2\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) là dãy số tăng.

-- Mod Toán 11 HỌC247