Giải bài tập Hình học 10 Ôn tập chương II Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b²+c² = 5a² 

Trong các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16, c = 20. Tính diện tích S, chiều cao h_a, các bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đó.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) $\cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}$ (S là diện tích tam giác ABC);

b) $\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}$

Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;R′) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB, lấy điểm C ở ngoài hai đường tròn và kẻ hai tiếp tuyến CE, CF đến hai đường tròn đó ( E, F là các tiếp điểm). Chứng minh rằng CE = CF.

Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.

a) Chứng minh rằng AB²+CD² không đổi.

b) Chứng minh rằng PA²+PB²+PC²+PD² không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

Giá trị $\cos {45^0} + \sin {45^0}$ bằng bao nhiêu ?

(A) 1

(B) $\sqrt 2$                           

(C) $\sqrt 3$

(D) 0.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?

(A) $\sin ({180^0} - \alpha ) =  - \cos \alpha$

(B) $\sin ({180^0} - \alpha ) =  - \sin \alpha$

(C) $\sin ({180^0} - \alpha ) = \sin \alpha$

(D) $\sin ({180^0} - \alpha ) = \cos \alpha$

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai ?

(A) $\sin {0^0} + \cos {0^0} = 0$

(B) $\sin {90^0} + \cos {90^0} = 1$

(C) $\sin {180^0} + \cos {180^0} =  - 1$

(D) $\sin {60^0} + \cos {60^0} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}$

Trong các hệ thức sau, hệ thức nào không đúng ?

(A) ${(\sin \alpha  + \cos \alpha )^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$

(B) ${(\sin \alpha  - \cos \alpha )^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$

(C) ${\cos ^4}\alpha  - {\sin ^4}\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha$

(D) ${\cos ^4}\alpha  + {\sin ^4}\alpha  = 1$

Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 120⁰?

(A) $(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP} )$

(B) $(\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {ON} )$

(C) $(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {OP} )$

(D) $(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} )$

Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai ?

(A) $\overrightarrow {MN} (\overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {PQ} ) = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ}$

(B) $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN}  =  - \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}$

(C) $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {MN}$

(D) $(\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {PQ} ).(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ} ) = M{N^2} - P{Q^2}$

Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng ?

(A) $|\vec a.\vec b| = |\vec a|.|\vec b|$

(B) $\sqrt {{{\vec a}^2}}  = |\vec a|$

(C) $\sqrt {{{\vec a}^2}}  = \vec a$

(D) $\vec a =  \pm |\vec a|$

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\vec a = (3;4),\vec b = (4; - 3)$. Kết luận nào sau đây là sai ?

(A) $\vec a.\vec b = 0$

(B) $\vec a \bot \vec b$

(C) $|\vec a.\vec b| = 0$

(D) $|\vec a|.|\vec b| = 0$

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\vec a = (9;3)$. Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ $\vec a$?

(A) $\vec v = (1; - 3)$

(B) $\vec v = (2; - 6)$

(C) $\vec v = (1;3)$

(D) $\vec v = ( - 1;3)$

Tam giác ABC có $a = 14,\,b = 18,\,c = 20$. Kết quả nào sau đây là gần đúng nhất ?

(A) $\widehat B \approx {42^0}{50'}$

(B) $\widehat B \approx {60^0}{56'}$

(C) $\widehat B \approx {119^0}{04'}$

(D) $\widehat B \approx {90^0}$.

Nếu tam giác MNP có $MP = 5,\,PN = 8,\,\widehat {MPN} = {120^0}$ thì độ dài cạnh MN ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất ) là

(A) $11,4$

(B) $12,4$

(C) $7,0$

(D) $12,0$

Cho tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc MPE, EPF, FPQ bằng nhau.

Đặt $MP = q,\,PQ = m,\,PE = x,\,PF = y$ (h.64).

Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng ?

(A) $ME = EF = FQ$;

(B) $M{E^2} = {q^2} + {x^2} - xq$;

(C) $M{F^2} = {q^2} + {y^2} - yq$;

(D) $M{Q^2} = {q^2} + {m^2} - 2qm$.

Tam giác ABC có BC = 10, $\widehat A = {30^0}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

(A) 5

(B) 10

(C) $\frac{{10}}{{\sqrt 3 }}$

(D) $10\sqrt 3$

Tam giác với ba cạnh là 5, 12 và 13 có diện tích bằng bao nhiêu ?                       

 (A) 30

(B) $20\sqrt 2$

(C) $10\sqrt 3$

(D) 20

Tam giác ABC có ba cạnh là 6, 10, 8. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?

(A) $\sqrt 3$

(B) 4

(C) 2

(D) 1

Tam giác ABC có $\hat B = {60^0},\hat C = {45^0},AB = 5$. Hỏi cạnh AC bằng bao nhiêu ?

(A) $5\sqrt 3$

(B) $5\sqrt 2$

(C) $\frac{{5\sqrt 6 }}{2}$

(D) 10.