Toán 10 Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn


Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách tính Phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số, tần suất (hoặc bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp), qua đó đánh giá được mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng).

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương sai

Là trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi số liệu thống kê.

Công thức tính phương sai:

* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

\(\begin{array}{l}
{s^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\\
 = {f_1}{\left( {{x_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{x_2} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}{\left( {{x_k} - \overline x } \right)^2}
\end{array}\)

trong đó ni, fi lần lượt là tần số, tần suất cua giá trị xi; n là số các số liệu thống kê (n=n1+n2+...+nk); \({\overline x }\) là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

\(\begin{array}{l}
{s^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\\
 = {f_1}{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}{\left( {{c_k} - \overline x } \right)^2}
\end{array}\)

trong đó ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê (n=n1+n2+...+nk); \({\overline x }\) là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

Phương pháp tính phương sai: 

 + Tính trung bình cộng 

 + Tính độ lệch của mỗi số liệu thống kê

 + Áp dụng công thức

Ngoài ra có thể dùng công thức:

\({s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}\)

trong đó \(\overline {{x^2}} \) là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê và

\(\overline {{x^2}}  = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{x^2}_i}  = \sum\limits_1^k {{f_i}{x^2}_i} \) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất)

\(\overline {{x^2}}  = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{c_i}^2}  = \sum\limits_1^k {{f_i}{c_i}^2} \) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)

1.2. Độ lệch chuẩn

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn. Ký hiệu là s và \(s = \sqrt {{s^2}} \)

Ý nghĩa: Phương sai s2 và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s vì s có đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:  Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Điểm

7,5

7,8

8,0

8,4

9,0

9,5

 

Tần số

1

2

3

2

2

1

n = 11

Tần suất

(%)

9,09

18,18

27,27

18,18

18,18

9,09

100

(%)

 

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất trên

Hướng dẫn:

Điểm trung bình của học sinh là

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + {f_4}{x_4} + {f_5}{x_5} + {f_6}{x_6}}\\
{ = \frac{{9,09}}{{100}}.7,5 + \frac{{18,18}}{{100}}.7,8 + \frac{{27,27}}{{100}}.8,0 + \frac{{18,18}}{{100}}.8,4 + \frac{{18,18}}{{100}}.9,0 + \frac{{9,09}}{{100}}.9,5}\\
{ \approx 8,3}
\end{array}\)

Phương sai s2

 \(\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{{s^2} = {f_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {f_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + ... + {f_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}}
\end{array}\\
 = \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {7,5 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {7,8 - 8,3} \right)^2} + \frac{{27,27}}{{100}}{\left( {8,0 - 8,3} \right)^2}\\
 + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {8,4 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {9,0 - 8,3} \right)^2} + \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {9,5 - 8,3} \right)^2}\\
 \approx 0,35
\end{array}\)

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx 0,59\)

Ví dụ 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau

Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Lớp nhiệt độ (0C) Tần số Tần suẩt

[12;14)

[14;16)

[16;18)

[18;20)

[20;22)

1

3

12

9

5

3,33

10,00

40,00

30,00

16,67

Cộng  30

100 (%)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng trên.

Hướng dẫn:

Số trung bình cộng:

\(\begin{array}{l}
\bar x = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}\\
 = \frac{{3,33}}{{100}}.13 + \frac{{10}}{{100}}.15 + \frac{{40}}{{100}}.17 + \frac{{30}}{{100}}.19 + \frac{{16,67}}{{100}}.21\\
 \approx 17,93
\end{array}\)

Phương sai s2

\(\begin{array}{l}
{s^2} = {f_1}{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + {f_3}{\left( {{c_3} - \overline x } \right)^2} + {f_4}{\left( {{c_4} - \overline x } \right)^2} + {f_5}{\left( {{c_5} - \overline x } \right)^2}\\
 = \frac{{3,33}}{{100}}{\left( {13 - 17,93} \right)^2} + \frac{{10}}{{100}}{\left( {15 - 17,93} \right)^2} + \frac{{40}}{{100}}.{\left( {17 - 17,93} \right)^2} + \frac{{30}}{{100}}{\left( {19 - 17,93} \right)^2} + \frac{{16,67}}{{100}}{\left( {21 - 17,93} \right)^2}\\
 \approx 8,64
\end{array}\)

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx 2,94\)

3. Luyện tập Bài 4 chương 5 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những các cách tính Phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số, tần suất (hoặc bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp), qua đó đánh giá được mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng).

3.1 Trắc nghiệm về phương sai và độ lệch chuẩn 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phương sai và độ lệch chuẩn

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 128 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 128 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 128 SGK Đại số 10

4. Hỏi đáp về bài 4 chương 5 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

  • Bài 14 (SBT trang 163)

    a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam và các học sinh nữ ở bảng 5 ?

    Chiều cao của 120 học sinh lớp 11 ở trường Trung học phổ thông M (đơn vị : cm)

    b) Giả sử trường Trung học phổ thông M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên toán (kí hiệu là nhóm T) có chiều cao trung binh là \(\overline{x}=163cm\), có độ lệch chuẩn là \(s=13\) . So sánh chiều cao của 3 nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nhóm nữ, nhóm T)

     

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Bài 15 (SBT trang 164)

    Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở các bảng sau :

                     Điểm số của xạ thủ A

                      Điểm số của xạ thủ B

    a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng 13, bảng 14

    b) Xem xét trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắn chụm hơn ?

    Theo dõi (0) 1 Trả lời

-- Mod Toán Học 10 HỌC247