YOMEDIA
NONE

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A = (n-2010)(n-2011)(n-2012) là số chính phương

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A = (n-2010)(n-2011)(n-2012) là số chính phương

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Vũ Trịnh Hoàng

    Lời giải:

    Nếu \(n<2010\Rightarrow A<0\) (không thể là số chính phương)

    Nếu \(n=2010,2011\Rightarrow A=0\in \text{scp}\) (thỏa mãn)

    Nếu \(n\geq 2012\)

    Đặt \(n-2012=a(a\geq 0)\). Khi đó:\(A=a(a+1)(a+2)\)

    \(\Leftrightarrow A=(a^2+2a)(a+1)\)

    Gọi \(d=\text{ƯCLN}(a^2+2a, a+1)\)

    \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+2a\vdots d\\ a+1\vdots d\rightarrow a^2+a\vdots d\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow a^2+2a-(a^2+a)\vdots d\Leftrightarrow a\vdots d\)

    Mà \(a+1\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\)

    Hay \(a^2+2a, a+1\) nguyên tố cùng nhau. Do đó để \((a^2+2a)(a+1)\) là một số chính phương thì $a^2+2a$ và $a+1$ là những số chính phương.

    Đặt \(a^2+2a=t^2\Leftrightarrow a(a+2)=t^2\)

    Nếu \(a\) lẻ. Dễ thấy \((a,a+2)\) nguyên tố cùng nhau. Do đó bản thân mỗi số là một số chính phương.\(\Rightarrow a=m^2; a+2=n^2(m,n\in\mathbb{N})\)

    \(\Rightarrow 2=n^2-m^2=(n-m)(n+m)\)

    Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=2\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=3\Rightarrow n\not\in\mathbb{N}\)

    (loại)

    Nếu $a$ chẵn. Đặt \(a=2x\Rightarrow a(a+2)=t^2\Leftrightarrow 4x(x+1)=t^2\)

    \(\Leftrightarrow x(x+1)=\left(\frac{t}{2}\right)^2\)

    Dễ thấy $(x,x+1)$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để tích hai số đó là một số chính phương thì bản thân mỗi số là số chính phương.

    \(\Rightarrow x=m^2; x+1=n^2 (m,n\in\mathbb{N})\)

    \(\Rightarrow 1=(n-m)(n+m)\)

    Vì \(n+m\geq n-m>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-m=1\\ n+m=1\end{matrix}\right.\Rightarrow 2n=2\Rightarrow n=1\)

    \(\Rightarrow x=0\Rightarrow a=0\)

    Khi $a=0$ thì $a+1=1$ cũng là số chính phương (thỏa mãn)

    Do đó \(n=2012\)

    Vậy \(n\in\left\{2010; 2011; 2012\right\}\)

      bởi Vũ Trịnh Hoàng 10/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON