YOMEDIA
NONE

Tìm quan hệ giữa a, b, c để phương trình (x+a)^4+(x+b)^4=c có nghiệm

Tìm quan hệ giữa a, b, c để phương trình \(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\) có nghiệm.

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hoàng Chí Lê Hoài

    \(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\left(1\right)\)

    ĐK: \(c\ge0\)

    Đặt: \(y=x+\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+a=y+\dfrac{a-b}{2}\\x+b=y-\dfrac{a-b}{2}\end{matrix}\right.\)

    Đặt: \(\dfrac{a-b}{2}=m\)

    \(\left(x+a\right)^4+\left(x+b\right)^4=c\)

    \(\Leftrightarrow\left(y+m\right)^4+\left(y-m\right)^4=c\)

    \(\Leftrightarrow\left[\left(y+m\right)^2+\left(y-m\right)^2\right]^2-2\left(y+m\right)^2.\left(y-m\right)^2=c\)

    \(\Leftrightarrow\left(2y^2+2m^2\right)^2-\left(2y^2-2m^2\right)^2=c\)

    \(\Leftrightarrow4y^4+8y^2m^2+4m^4-2y^4+4y^2m^2-2m^4=c\)

    \(\Leftrightarrow2y^4+12y^2m^2+2m^4=c\)

    \(\Leftrightarrow y^4+6y^2m^2+m^4-\dfrac{c}{2}=0\)

    Đặt: \(t=y^2\ge0\)

    \(\Leftrightarrow t^2+6m^2t+m^4-\dfrac{c}{2}=0\left(2\right)\)

    Ta có: \(\Delta'=8m^4+\dfrac{c}{2}\ge0\Rightarrow\) phương trình (2) luôn có nghiệm

    Áp dụng định lý Vi-et ta có:

    \(t_1+t_2=-6m^2\le0\) \(\forall m\in R\Rightarrow\) Phương trình 2 không thể có 2 nghiệm cùng mang dấu dương

    Để phương trình 1 có nghiệm thì \(t_1,t_2\) không thể cùng mang dấu âm

    \(\Rightarrow\) Phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có ít nhất 1 nghiệm bằng 0

    \(\Leftrightarrow m^4-\dfrac{c}{2}\le0\)

    \(\Leftrightarrow c\ge2m^4\Rightarrow c\ge2\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^4=\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\)

    Vậy với \(c\ge\dfrac{\left(a-b\right)^4}{8}\) phương trình (1) có nghiệm.

      bởi Hoàng Chí Lê Hoài 26/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF