YOMEDIA
NONE

Tìm Max biết căn(a/b+c+2a)+căn(b/c+a+2b)+căn(c/a+b+2c)

cho a,b,c là số thực dương, tìm Max: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b+2c}}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Ngọc Hân

    Lời giải:

    Đặt biểu thức đã cho là $A$

    Ta có:

    \(A=\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\)

    \(A=\sqrt{\frac{a}{(a+b)+(a+c)}}+\sqrt{\frac{b}{(b+c)+(b+a)}}+\sqrt{\frac{c}{(c+a)+(c+b)}}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(A\leq\sqrt{\frac{a}{2\sqrt{(a+b)(a+c)}}}+\sqrt{\frac{b}{2\sqrt{(b+c)(b+a)}}}+\sqrt{\frac{c}{2\sqrt{(c+a)(c+b)}}}\)

    \(\Leftrightarrow A\leq \sqrt[4]{\frac{a^2}{4(a+b)(a+c)}}+\sqrt[4]{\frac{b^2}{4(b+c)(b+a)}}+\sqrt[4]{\frac{c^2}{4(c+a)(c+b)}}(*)\)

    Tiếp tục áp dụng AM-GM:

    \(\sqrt[4]{\frac{a^2}{4(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\)

    \(\sqrt[4]{\frac{b^2}{4(b+c)(b+a)}}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\)

    \(\sqrt[4]{\frac{c^2}{4(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\)

    Cộng theo vế kết hợp với $(*)$

    \(\Rightarrow A\leq \frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}+6.\frac{1}{2}\right)\)

    \(\Leftrightarrow A\leq \frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)

    Vậy \(A_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c\)

      bởi Ngọc Hân 24/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON